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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
f) $f(x)=x \ln ^{2} x$
f) $f(x)=x \ln ^{2} x$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es todo $(0,+\infty)$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Nuestro candidato a asíntota vertical es el borde del dominio, $x = 0$. Tomamos límite:
Reportar problema
$ \lim_{x \to 0^+} x \ln^2(x) $
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln^2(x)}{\frac{1}{x}} $
Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -2 x \ln(x) $
Reescribo de nuevo como un cociente:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln(x)}{\frac{1}{x}} $
Aplicamos L'Hopital de nuevo:
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2}} = 2x = 0 $
Por lo tanto, $x=0$ no es asíntota vertical.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+ \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x \ln^2(x) = +\infty $
Con lo cual $f$ tampoco tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:
$f'(x) = \ln^2(x) + x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x)$
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x) = 0$
Saco factor común $\ln(x)$
$\ln(x) \cdot (\ln(x) + 2) = 0$
Esta multiplicación puede ser cero si:
✅ $\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1$
✅ $\ln(x) + 2 = 0$
Despejamos:
$\ln(x) = -2$
$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$
Por lo tanto, los puntos críticos de $f$ son $x=1$ y $x = e^{-2}$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( (0, e^{-2}) \)
- \( (e^{-2}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
En \( (0, e^{-2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (e^{-2}, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: